—Por qué molestarse? ?Por qué lo hizo Russell? ?Había algo malo en las matemáticas? Es decir, dos y dos son cuatro, ?no?
Alan cogió dos tapones de botella y los colocó en el suelo.
—Dos. Uno-dos. Más… —Puso dos más—. Otros dos. Uno-dos. Igual a cuatro. Uno-dos-tres-cuatro.
—?Qué tiene de malo? —preguntó Lawrence.
—Pero Lawrence… cuando haces matemática de verdad no cuentas chapas, ?verdad?
—No cuento ?nada?.
Rudy le ofreció la siguiente noticia:
—Essa es una posición muy moderna para ti.
—?Lo es?
Alan dijo:
—Durante mucho tiempo se tuvo la creencia implícita de que la matemática era una especie de física de las chapas. Que cualquier operación matemática que pudieses realizar sobre el papel, sin que importase lo complicada que fuese, podía reducirse, al menos en principio, a mover contadores físicos, como las chapas, en el mundo real.
—Pero no se puede tener dos coma una chapas.
—Vale, vale, digamos que usamos las chapas para los enteros, y para números reales, como dos coma uno, usamos medidas físicas, como la longitud de este palo.
Alan lo arrojó junto a las chapas.
—Entonces, ?qué hay de pi? No puedes tener un palo de longitud pi centímetros.
—Pi viene de la geometría… es el mismo cuento —a?adió Rudy.
—Sí, se creía que la geometría euclidea era realmente un tipo de física, que sus líneas y demás representaban propiedades del mundo físico. Pero… ?conoces a Einstein?
—No soy muy bueno con los nombres.
—?El tipo de pelo blanco y grandes bigotes?
—Oh, sí-dijo Lawrence sombrío—. Intenté plantearle mi problema de engranajes. Dijo llegar tarde a una cita o algo así.
—Ese tipo inventó una teoría general de la relatividad, que es una especie de aplicación práctica no de la geometría de Euclides sino de la de Riemann…
—?El mismo Riemann de tu función zeta?
—Mismo Riemann, tema diferente. Ahora, no nos perdamos, Lawrence…
—Riemann mostró que podía haber muchas geometrías diferentes, que no eran la geometría de Euclidess pero que mantenían la coherencia interna.
—Vale, volvamos entonces al P.M. —dijo Lawrence.
—?Sí! Russell y Whitehead. La cosa es así: cuando los matemáticos empezaron a enredarse con cosas como la raíz cuadrada de menos uno y cuaterniones, ya no estaban tratando con cosas que podían traducirse a palos y chapas. Pero seguían obteniendo resultados razonables.
—O al menos, resultados internamente consistentes —dijo Rudy.
—Vale. Lo que significaba que la matemática era algo más que una física de las chapas.
—Así parecía, Lawrence, pero eso planteaba la pregunta de si la matemática era realmente ?verdad? o no era más que un juego con símbolos. En otras palabras: ?descubrimos la verdad o nos masturbamos?
—?Debe ser verdad porque si la usas para hacer física todo sale bien! He oído hablar de la relatividad general, y sé que hicieron experimentos y salió que era cierta.
—La mayor parte de la matemática no se pressta a la comproba-sión experimental —dijo Rudy.
—La idea central del proyecto era cortar los lazos con la física —dijo Alan.
—Pero no masturbarnos.
—?Eso era lo que intentaban hacer con KM.?
—Russell y Whitehead desmenuzaron todos los conceptos matemáticos en cosas brutalmente simples como los conjuntos. De ahí llegaron los enteros y demás.
—Pero tpcómo puedes descomponer algo como pi en un conjunto?
—No puedes —dijo Alan—, pero puedes expresarlo en una larga cadena de dígitos. Tres coma uno cuatro uno cinco nueve, y demás.
—Y los dígitos son enteros —dijo Rudy.
—?Pero no es justo! ?Pi en sí mismo no es un entero!
—Pero puedes calcular los dígitos de pi, uno cada vez, usando ciertas fórmulas. ?Y la formula se puede escribir! —Alan lo hizo en el suelo:
—He empleado la serie de Leibniz para aplacar a nuestro amigo. ?Ves, Lawrence? Una cadena de símbolos.
—Vale. Veo la cadena de símbolos —dijo Lawrence renuente.
—?Podemos seguir? Hace unos a?os, Gódel dijo: ??Veamos! Si aceptas lo de que la matemática es sólo cadenas de símbolos, ?sabes qué?? Y se?aló que cualquier cadena de símbolos, como esta fórmula de aquí, puede traducirse en enteros.
—?Cómo?
—No es un método complicado, Lawrence… un cifrado simple. Arbitrario. Se puede escribir el número 538 en lugar de esa enorme y fea 2, y con los demás igual.
—Ahora sí que me parece que estamos muy cerca de la masturbación.
—No, no. ?Porque a continuación Gódel hizo saltar la trampa! Las fórmulas se pueden aplicar a los números, ?no?
—Claro. Como 2x.
—Sí. Puedes sustituir x por un número y la fórmula 2x lo doblará. Pero si otra fórmula matemática, como la que tenemos aquí mismo para calcular pi, se puede codificar en un número, puedes hacer que otra fórmula opere sobre ella. ?Fórmulas operando sobre fórmulas!
—?Eso es todo?
—No. A continuación demostró, por medio de un argumento muy simple, que si las fórmulas se pueden referir a sí mismas, es posible escribir una que diga ?esta afirmación no puede demostrarse?. Lo que fue una tremenda sorpresa para Hilbert y todos los demás, que esperaban el resultado opuesto.
—?Ya habías mencionado a ese Hilbert?
—No, lo acabo de introducir en la discusión, Lawrence.
—?Quién es?
—Un hombre que hace preguntas difíciles. En una ocasión hizo toda una lista entera. Gódel contestó a una de ellas.
—Y Türing respondió a otra —dijo Rudy.
—Quién es ése?
—Soy yo —dijo Alan—. Pero Rudy bromea. ?Turing? no lleva diéresis.
—Essta noche ssí que va a tener diéresis —dijo Rudy mirando a Alan de una forma que, a?os más tarde, Lawrence comprendería que era pasión.
—Bien, no me tengas en vilo. Qué pregunta respondiste?
—El Entscheidungsproblem —dijo Rudy.
—?Qué es?
Alan lo explicó.
—Hilbert quería saber si una afirmación dada podía, en principio, demostrarse verdadera o falsa.